BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Matematika biasanya dianggap sebagai pelajaran yang paling sulit oleh murid, baik murid di sekolah dasar maupun di sekolah menengah. Di sebagian besar sekolah, banyak murid yang tampaknya tidak tertarik dengan pelajaran matematika, dan sering kali mempertanyakan relevansi dari begitu besarnya waktu yang dihabiskan untuk mengajarkan pelajaran ini.
Banyak materi di sekolah, khususnya di sekolah menengah yang terkadang memuat bentuk soal terbuka. Artinya, guru memberikan soal tersebut kepada murid kemudian membiarkan murid untuk mencari penyelesaian soal itu sendiri menurut pengetahuan yang mereka punya sebelumnya dengan caranya masing-masing. Dalam menyelesaikan soal seperti ini, dibutuhkan keterampilan khusus murid untuk menganalisa soal kemudian mencari penyelesaiannya. Akan tetapi, masih banyak ditemukan kesulitan-kesulitan yang murid hadapi, baik dalam menganalisis soal, memodelkannya ke dalam bentuk matematis, dan juga dalam mencari penyelesaiannya.
Menurut Askew dan Williams (dalam Muijs & Reynolds, 2008: 342), kesulitan spesifik pengetahuan matematika bagi murid terletak pada sifat abstraknya. Salah satu model yang diusulkan adalah di mana guru mulai dengan sebuah contoh atau situasi yang realitis, mengubahnya menjadi sebuah model matematika, mengarahkannya ke solusi matematika, yang kemudian diinterpretasikan kembali sebagai sebuah solusi yang realistik. Untuk dapat memahami suatu pokok bahasan dalam matematika, murid harus mampu menguasai konsep-konsep matematika dan keterkaitannya serta mampu menerapkan konsep-konsep tersebut untuk memecahkan masalah yang dihadapinya.
Dalam pembelajaran di sekolah, aspek pemahaman akan suatu konsep dan aplikasinya merupakan hal yang sangat penting yang harus dimiliki murid. Jika konsep dasar diterima murid secara salah, maka akan sukar untuk memperbaiki kembali, terutama jika sudah diterapkan dalam menyelesaikan soal-soal matematika. Oleh karena itu, pemahaman konsep matematika secara bulat dan utuh merupakan hal penting bagi murid sehingga jika diterapkan dalam menyelesaikan soal-soal matematika murid tidak mengalami kesulitan.
Pada pelajaran matematika SMA kelas XI dalam materi turunan fungsi terdapat salah satu kompetensi dasar bagi siswa untuk dapat merancang model matematika yang berkaitan dengan ekstrim fungsi. Di dalam pokok bahasan model matematika ekstrim fungsi ini mempunyai pemecahan masalah ekstrim dengan ciri spesifik, yaitu terlibatnya dua peubah yang saling terkait dan terkait oleh suatu persamaan. Kunci dari pemecahannya adalah merancang suatu model matematika dengan cara membentuk fungsi satu peubah yang akan ditentukan ekstrimnya yang kemudian dicari daerah asal fungsinya yang membentuk suatu selang. Jika fungsinya mempunyai tepat satu maksimum (minimum) lokal, maka titik ini akan menjadi maksimum (minimum) mutlak dari fungsinya.
Salah satu kemampuan murid yang dianggap rendah menurut guru dan kebanyakan siswa adalah kemampuan dalam menyelesaikan soal uraian matematika berbentuk cerita. Pada pokok bahasan model matematika ekstrim fungsi ini memuat soal cerita yang kemudian harus diubah oleh murid ke bentuk model matematika. Masalah yang terjadi pada murid saat menyelesaikan soal cerita diantaranya adalah menerapkan konsep-konsep matematika dan keterkaitan antara konsep yang satu dengan yang lainnya. Kebanyakan murid bekerja kurang sistematis dan kurang memperhatikan langkah-langkah penyelesaiannya. Murid hanya mementingkan hasil akhir jawaban, sehingga banyak langkah-langkah yang tidak ditempuh padahal merupakan langkah yang menentukan hasil akhir jawaban.
Dalam kaitannya dengan menyelesaikan soal matematika bentuk cerita kemampuan komputasi atau perhitungan juga sangat berpengaruh, karena setelah siswa dapat membuat model matematika maka siswa juga harus dapat menyelesaikan model tersebut. Menyelesaikan bentuk model matematika yang berupa persamaan, dapat diselesaikan dengan menggunakan metode-metode yang ada. Jika siswa dalam membuat model matematikanya salah maka dalam perhitungan juga akan mengalami kesalahan. Dengan demikian kemampuan siswa dalam menyelesaikan soal matematika bentuk cerita meliputi kemampuan siswa dalam membuat model matematikanya dan kemampuan siswa dalam perhitungan.
Salah satu upaya yang dapat dilakukan untuk mengatasi kesulitan siswa dalam menyelesaikan persoalan matematika khususnya pada pokok bahasan ekstrim fungsi adalah dengan menelusuri tingkat kemampuan siswa. Menyelidiki kesulitan pemahaman konsep pada murid SMA sangat menarik. Hal ini mengingat pada jenjang SMA, membuat model untuk menyajikan konsep-konsep abstrak dari soal cerita bukanlah merupakan hal yang baru diperkenalkan pada murid, karena pada jenjang pendidikan sebelumnya murid sudah pernah diajarkan materi matematika yang memuat pemodelan matematika dari soal cerita.
Dari paparan yang telah diuraikan di atas, peneliti merasa tertarik untuk meneliti tentang kesulitan apa saja yang dialami oleh siswa SMA kelas XI dalam merancang model matematika yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penyelesaiannya pada pokok bahasan turunan.
B. Pembatasan Masalah
Dengan mempertimbangkan keterbatasan kedalaman materi serta ketajaman menganalisis materi, maka masalah dalam penelitian hanya dibatasi pada kesulitan-kesulitan yang dialami oleh siswa SMA kelas XI dalam merancang model matematika yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penyelesaiannya pada pokok bahasan turunan. Data mengenai kesulitan yang dialami siswa dalam merancang model matematika yang berkaitan dengan ekstrim fungsi, diamati pada saat kegiatan belajar mengajar dan dari hasil tes penelitian dari beberapa siswa untuk materi tersebut selama penelitian berlangsung.
C. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang telah dikemukakan, rumusan masalah dalam penelitian ini adalah kesulitan apakah yang dialami oleh siswa SMA kelas XI dalam merancang model matematika yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penyelesaiannya pada pokok bahasan turunan.
D. Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui dan mendeskripsikan kesulitan apa sajakah yang dialami siswa SMA kelas XI dalam merancang model matematika yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penyelesaiannya pada pokok bahasan turunan.
E. Pembatasan Istilah
1. Kesulitan
Kesulitan merupakan suatu kondisi yang memperlihatkan ciri-ciri hambatan dalam kegiatan untuk mencapai tujuan sehingga diperlukan usaha yang lebih baik untuk mengatasi hambatan. Dalam penelitian ini hanya dibatasi pada kesulitan siswa dalam merancang model matematika yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penyelesaiannya pada pokok bahasan turunan.
2. Ekstrim Fungsi Pada Pokok Bahasan Turunan
Pokok bahasan turunan pada penelitian ini hanya dibatasi pada materi merancang model matematika yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penyelesaiannya. Materi ini diajarkan pada siswa kelas XI SMA semester II.
3. Analisis Kesulitan Siswa Dalam Merancang Model Matematika yang Berkaitan dengan Ekstrim Fungsi dan Penyelesaiannya
Analisis kesulitan pada pokok bahasan merancang model matematika ekstrim fungsi dan penyelesaiannya adalah suatu upaya untuk menyelidiki kesulitan dalam merancang model matematika pada pokok bahasan ekstrim fungsi dan penyelesaiannya yang dialami oleh siswa pada saat kegiatan belajar mengajar di kelas.
Analisis kesulitan yang dialami siswa dalam penelitian ini digali dari menganalisis hasil tes siswa dalam merancang model matematika yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penyelesaiannya yang telah disiapkan oleh peneliti sebelumnya dan hasil wawancara peneliti dengan beberapa siswa sebagai sampel setelah mengerjakan soal tes tersebut.
F. Manfaat Penelitian
Hasil dari penelitian ini nantinya diharapkan dapat memberikan manfaat sebagai berikut:
1. Bagi peneliti
Melalui penelitian ini peneliti dapat mengetahui sejauh mana kesulitan siswa SMA dalam merancang model matematika yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penyelesaiannya. Selain itu penelitian ini dapat digunakan sebagai pengalaman menulis karya ilmiah dan melaksanakan penelitian dalam pendidikan matematika sehingga dapat menambah cakrawala pengetahuan, khususnya tentang pentingnya kesulitan siswa dalam membuat model matematika yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penyelesaiannya.
2. Bagi guru
Dengan mengetahui kesulitan yang dialami siswa dalam merancang model matematika yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penyelesaiannya, diharapkan kepada guru SMA dapat mencari pemecahannya sehingga kesulitan-kesulitan yang dialami siswa dapat teratasi.
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Model Matematika
Pengertian model menurut Kamus Matematika adalah:
1. objek M disebut sebagai model dari objek (fenomena, masalah, atau sistem) S jika: (i) ada kumpulan unsur dalam M yang masing-masing mempunyai padanan dalam S, dan (ii) ada hubungan yang berlaku antara unsur-unsur dalam M yang sesuai dengan hubungan unsur-unsur padanannya dalam S; ungkapan dari suatu teori atau keadaan sebab akibat dan dianggap membangkitkan data amatan; persamaan matematika;
2. benda atau konsep yang digunakan dalam menggambarkan suatu bagian masalah, dalam ukuran yang lebih kecil dan dalam bentuk yang lebih sederhana serta lebih mudah dipahami.
Dalam Kamus Matematika disebutkan pula, bahwa pengertian dari model matematis adalah model yang menggunakan konsep dasar matematika dalam penggambarannya, seperti objek dalam masalah dinyatakan sebagai peubah, tetapan, atau parameter dan hubungan antarobjek dinyatakan sebagai fungsi, persamaan, ataupun pertidaksamaan.
Sedangkan menurut Luknanto (2003: 2), secara umum pengertian model adalah suatu usaha untuk menciptakan suatu replika/tiruan dari suatu fenomena/peristiwa alam. Ada tiga jenis model yaitu model fisik, model analogi dan model matematik. Pada model matematika, replika/tiruan tersebut dilaksanakan dengan mendiskripsikan fenomena/peristiwa alam dengan satu set persamaan. Kecocokan model terhadap fenomena/peristiwa alamnya tergantung dari ketepatan formulasi persamaan matematis dalam mendeskripsikan fenomena/peristiwa alam yang ditirukan.
B. Kesulitan Siswa dalam Merancang Model Matematika
Siswa banyak mengalami kesulitan dalam menyelesaikan soal cerita. Dalam menyelesaikan soal cerita diperlukan beberapa langkah yang harus dilakukan oleh siswa. Menurut Soedjadi (dalam Lambertus, 2004: 76), langkah-langkah yang dapat dijadikan pedoman bagi siswa untuk menyelesaikan soal cerita adalah :
1. Membaca soal cerita untuk mengungkapkan makna tiap kalimat.
2. Memisahkan dan mengungkapkan: (a) apa yang diketahui dalam soal, (b) apa yang ditanyakan dalam soal, (c) bentuk penyelesaian yang diperlukan.
3. Membuat model matematika dari soal.
4. Menyelesaikan model matematika menurut aturan-aturan matematika sehingga mendapatkan jawaban dari model.
5. Mengembalikan jawaban kepada soal semula.
Penyelesaian soal cerita memang memerlukan tingkat pemahaman yang tinggi dibandingkan dengan penyelesaian soal bentuk hitungan. Kurniawan (2007: 11) mengatakan bahwa banyak siswa yang masih mengalami kesulitan dalam menyelesaikan soal cerita antara lain :
1. Ketidakmampuan siswa dalam memahami soal cerita akibat kurang pengetahuan siswa tentang konsep atau beberapa istilah yang diketahui.
2. Ketidakmampuam siswa dalam mengubah soal berbentuk soal cerita ke dalam model atau kalimat matematika.
3. Ketidakmampuan siswa dalam menyelesaikan model atau kalimat matematika.
4. Ketidakmampuan siswa dalam menarik atau membuat kesimpulan dari penyelesaian model matematika.
Kesulitan siswa dalam menyelesaikan soal cerita bisa lebih diperinci lagi dan salah satunya adalah kesulitan pada waktu mengubah bentuk soal cerita menjadi model matematika. Secara spesifik kesulitan siswa muncul dalam menentukan apa yang diketahui dari soal, apa yang ditanyakan dan dalam membuat model matematikanya. Kesulitan tersebut tampaknya terkait dengan pengajaran yang menuntut siswa membuat model matematika tanpa lebih dahulu memberikan petunjuk tentang langkah-langkah yang harus ditempuh (dalam Abdurrahman, 2009: 258).
Pada tahap selanjutnya kesulitan mungkin akan timbul pada penyelesaian perhitungan model matematikanya. Hal tersebut bisa ditinjau dari pemahaman siswa dari maksud soal yang ditanyakan dan konsep materi yang telah diajarkan sebelumnya. Kemudian ditinjau dari kemampuan siswa dalam berhitung dan ketelitian siswa dalam berhitung.
Berikut ini desain tahap membuat model matematika yang dikemukakan oleh Verschaffel, Greer, dan De Corte (dalam Turmudi, 2010: 4)
Gambar: Diagram Proses Pemodelan
Dalam diagram di atas, permasalahan nyata yang dikaji mula-mula diterjemahkan menjadi permasalahan matematika (model matematika). Model matematika kemudian diselesaikan secara matematika dengan mengikuti kaidah-kaidah matematika. Penyelesaian model matematika diinterpretasikan menjadi penyelesaian masalah nyata.
C. Ekstrim Fungsi
1. Pengertian Ekstrim Fungsi
Definisi: Misal diberikan kurva f(x) dan titik (a,b) merupakan titik puncak (titik maksimum atau minimum). Maka garis singgung kurva di titik (a,b) akan sejajar sumbu X atau mempunyai gradien m = 0 [ f '( a) = 0] . Titik (a, b) disebut titik ekstrim, nilai x = a disebut nilai stasioner, sedangkan nilai y = b disebut nilai ekstrim.
a. Fungsi Maksimum dan Minimum
i. Fungsi 𝑓 dikatakan mencapai maksimum mutlak di 𝑐 jika 𝑓(𝑐) ≥𝑓(𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼. Di sini 𝑓(𝑐) dinamakan nilai maksimum mutlak. Dan (𝑐, f(𝑐)) dinamakan titik maksimum mutlak dari fungsi 𝑓 pada selang 𝐼.
ii. Fungsi 𝑓 dikatakan mencapai minimum mutlak di 𝑐 jika 𝑓(𝑐) ≤𝑓(𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼. Di sini 𝑓(𝑐) dinamakan nilai minimum mutlak. Dan (𝑐, f(𝑐)) dinamakan titik minimum mutlak dari fungsi 𝑓 pada selang 𝐼.
iii. Fungsi 𝑓 dikatakan mencapai maksimum lokal di 𝑐 jika terdapat suatu 𝛿 > 0 sehingga pada selang (𝑐 − 𝛿, c + 𝛿) berlaku 𝑓(𝑐) ≥𝑓(𝑥) . Di sini 𝑓(𝑐) dinamakan nilai maksimum lokal. Dan (𝑐, f(𝑐)) dinamakan titik maksimum lokal dari fungsi 𝑓 pada selang 𝐼.
iv. Fungsi 𝑓 dikatakan mencapai minimum lokal di 𝑐 jika terdapat suatu 𝛿 > 0 sehingga pada selang (𝑐 − 𝛿, c + 𝛿) berlaku 𝑓(𝑐) ≤𝑓(𝑥) . Di sini 𝑓(𝑐) dinamakan nilai minimum lokal. Dan (𝑐, f(𝑐)) dinamakan titik minimum lokal dari fungsi 𝑓 pada selang 𝐼.
Teorema : Turunan di titik ekstrim lokal
Misal fungsi 𝑓 kontinu pada selang terbuka 𝐼 yang memuat 𝑐. Jika fungsi 𝑓 mencapai ekstrim lokal di 𝑐 dan fungsi 𝑓 terdiferensialkan di 𝑐, maka 𝑓’(𝑐)=0
Teorema : Titik kritis
· Titik ujung selang 𝐼, bila 𝐼 adalah selang tertutup
· Titik 𝑐 di dalam selang 𝐼, yang memenuhi 𝑓′(𝑐) =0 atau 𝑓′(𝑐) tidak ada
𝑓'(𝑐) =0, titik 𝑐 dinamakan titik stasioner dari fungsi 𝑓
𝑓′(𝑐) tidak ada, titik 𝑐 dinamakan titik singular dari fungsi 𝑓
Definisi : Titik Belok
Misal f(x) kontinu di x = b. Maka (b , f(b) ) disebut titik belok dari kurva f(x) bila terjadi perubahan kecekungan di x = b, yaitu di satu sisi dari x = b cekung ke atas dan disisi lain cekung ke bawah atau sebaliknya.
Syarat perlu x = b merupakan absis dari titik belok bila berlaku f "(b) = 0 atau f(x) tidak diferensiabel dua kali di x = b. Kata “ syarat perlu “ mirip artinya dengan kata “ calon “, maksudnya bahwa untuk nilai x = b yang dipenuhi oleh salah satu dari kedua syarat itu memungkinkan untuk menjadi absis titik belok bergantung apakah dipenuhi syarat seperti halnya yang tertulis pada definisi.
b. Kemonotonan dan Kecekungan
1) Kemonotonan Fungsi
Definisi: Misalkan f terdefinisi pada selang S.
i. f naik pada selang S, jika untuk setiap pasangan a,b di S , a < b → f(a) < f(b)
ii. f turun pada selang S, jika untuk setiap pasangan a, b di S , a < b → f(a) > f(b)
iii. f monoton murni pada S jika f naik pada S atau turun pada S
Teorema: Misalkan f kontinu pada selang S
i. f naik pada selang S, bila f’(x) > 0 untuk semua x pada S
ii. f turun pada selang S, bila f’(x) < 0 untuk semua x pada S
2) Kecekungan Fungsi
Definisi: Misalkan f terdiferensialkan pada selang terbuka S,
i. f cekung ke atas pada S, bila f’ naik pada selang S
ii. f cekung ke kebawah pada S, bila f’ turun pada selang S
Teorema: Misalkan f terdiferensialkan dua kali pada selang terbuka S
i. Jika f”(x) > 0 untuk semua pada selang S, maka f cekung ke atas pada selang S
ii. Jika f”(x) < 0 untuk semua pada selang S, maka f cekung ke bawah pada selang S
2. Mencari nilai ekstrim fungsi
Berikut ini contoh-contoh penyelesaian soal yang berkaitan dengan ekstrim fungsi:
a. Sebuah fungsi didefinisikan pada selang [ -2, 5] sebagai berikut Cari nilai ekstrim fungsi tersebut
Penyelesaian:
Titik-titik kritis fungsi di atas sebagai berikut.
§ titik ujung selang, yakni x = -2 atau x = 5,
§ titik stasioner,
sehingga diperoleh: x = 3 (di luar selang [ -2, 5], jadi tidak memenuhi) dan x = 3, atau
§ titik singular. Akan tetapi, fungsi ini tidak memiliki titik singular.
Dengan demikian, titik kritis fungsi di atas adalah x = -2, 3, dan 5.
Nilai ekstrimnya dicari dengan memasukkan titik-titik kritis di atas pada fungsi objektif sebagai berikut.
Dengan demikian, nilai maksimum mutlaknya adalah 52, sedangkan nilai minimum mutlaknya adalah –48.
b. Cari nilai maksimum dan minimum dari pada [-1,2]
Penyelesaian:
Titik-titik kritis fungsi di atas sebagai berikut.
§ Titik ujung selang yaitu x = -1 dan x = 2,
§ Titik stasioner: Akan tetapi, tidak pernah nol
§ Titik singular: tidak terdefinisi pada x = 0
Dengan demikian, titik kritisnya adalah -1, 0, dan 2. Selanjutnya,
Jadi, nilai maksimum mutlaknya adalah 1,6 dan nilai minimum mutlaknya adalah 0.
c. Jika , cari di mana f cekung ke atas dan cekung ke bawah.
Penyelesaian:
Turunan pertama dan kedua dari berturut-turut adalah:
Titik pemisah selang diperoleh dengan menerapkan f’’(x) = 0 maka
sehingga diperoleh x = -4 dan x = 0. Selanjutnya dengan memasukkan titik uji -5, -1, dan 1 diperoleh tanda f’’ seperti gambar.
f’’ + - +
jadi, f cekung ke atas pada dan dan cekung ke bawah pada [-4,0].
3. Pemodelan Masalah yang Berkaitan dengan Ekstrim Fungsi
Pada Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan SMA kelas XI semester 2, salah satu aspek yang dipelajari dalam mata pelajaran matematika adalah kalkulus yang di dalamnya terdapat materi ekstrim fungsi.
| Standar Kompetensi | Kompetensi Dasar |
| Kalkulus 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah | 6.5 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi 6.6 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya
|
Penggunaan turunan fungsi dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan nilai ekstrim (nilai maksimum dan nilai minimum) sangatlah luas, seperti diperlihatkan pada contoh berikut ini:
· Sebuah benda bergerak dengan panjang lintasan s = 20t – 5t2 – 5t3 (s dalam meter dan t dalam detik). Berapa panjang lintasan yang terbesar?
· Sebuah proyek bangunan dapat diselesaikan dalam tempo x hari dengan biaya proyek per hari sama dengan (2x + - 40) juta rupiah. Berapa biaya proyek yang minimum?
Masalah-masalah di atas memuat kata terbesar (maksimum atau yang searti dengan maksimum) dan kata terkecil (minimum atau yang searti dengan minimum) merupakan indikator bahwa masalah tersebut adalah karakteristik masalah yang model matematikanya berkaitan dengan nilai ekstrim fungsi (dalam Wirodikromo, 2007: 167).
Masalah yang terkait dengan nilai ekstrim fungsi dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut (dalam Wirodikromo, 2007: 168):
Tabel: Step-step pemecahan masalah yang berkaitan dengan problem nilai ekstrim
| Step 1 | Step 2 | Step 3 | Step 4 |
| Tetapkan besaran yang ada dalam masalah sebagai variabel (dilambangkan dengan huruf-huruf) untuk memperoleh hubungan atau ekspresi matematikanya. | Tetapkan rumus fungsi satu variabel yang merupakan model matematika dari masalah. | Tentukan penyelesaian optimum (maksimum atau minimum) dari model matematika yang diperoleh pada Step 2. | Berikanlah tafsiran terhadap hasil yang diperoleh pada Step 3 disesuaikan dengan masalah semula. |
Untuk membuat model matematika permasalahan ektrim fungsi digunakan langkah-langkah berikut:
i. Lambangkan dengan huruf semua besaran/faktor yang terlibat
ii. Rumuskan semua hubungan yang dapat diterjemahkan dari masalah tersebut
iii. Rumuskan model matematika melalui fungsi dengan satu variabel
Berikut ini beberapa contoh masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan model matematikanya.
a. Diketahui jumlah dua bilangan adalah 150. Jika hasil kali sebuah bilangan dengan kuadrat bilangan yang lain mencapai nilai maksimum, buatlah model matematika rumus fungsi sebagai hasil kali kedua bilangan tersebut agar mencapai nilai maksimum!
Penyelesaian:
§ Langkah 1: lambangkan dengan huruf semua besaran/faktor yang terlibat .
Misalkan: x = bilangan pertama
y = bilangan kedua
§ Langkah 2: Rumuskan semua hubungan yang dapat diterjemahkan dari masalah tersebut
Jumlah dua bilangan adalah 150
bilangan pertama + bilangan kedua = 150
x + y = 150
y = 150 - x
§ Langkah 3: Rumuskan model matematika melalui fungsi dengan satu variabel
Misalkan hasil kali kedua bilangan itu H
maka H = x2 . y
H = x2. (150 – x) =
Jadi, model matematika hasil kali kedua bilangan dalam variabel x adalah : , untuk 0 ≤ x ≤ 150
b. Sebuah kotak dibuat dari selembar kertas karton, panjang 40 cm dan lebar 20 cm, dengan memotong persegi identik pada keempat pojok dan melipat ke atas sisi-sisinya. Buatlah model matematika dari rumus volum kotak dalam variabel x agar memiliki volume maksimum!
Penyelesaian:
§ Langkah 1: Misalkan bagian pojok yang di potong berbentuk bersegi dengan panjang sisi x cm
§ Langkah 2: Tentukan panjang, lebar dan tinggi kotak dalam variabel x.
Panjang = (40 –2x) cm
Lebar = (20 –2x) cm
Tinggi = x cm
§ Langkah 3: Misalkan volum kotak adalah V(x)
Maka V(x) = panjang x lebar x tinggi
Jadi, model matematika rumus volum maksimum dalam variabel x adalah
4. Pemecahan Masalah yang Berkaitan dengan Ekstrim Fungsi
Soal cerita yang berkaitan dengan ekstrim fungsi akan dapat diselesaikan jika sudah dibentuk model matematikanya. Dari model matematika tersebut, kemudian dicari penyelesaian optimumnya (nilai maksimum atau nilai minimum).
Berikut ini contoh pemecahan masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dari contoh sebelumnya.
a. Diketahui jumlah dua bilangan adalah 150. Jika hasil kali sebuah bilangan dengan kuadrat bilangan yang lain mencapai nilai maksimum, buatlah model matematika rumus fungsi sebagai hasil kali kedua bilangan tersebut agar mencapai nilai maksimum!
Penyelesaian:
Model matematika dari soal tersebut adalah , untuk 0 ≤ x ≤ 150.
Model matematika akan dimaksimumkan dengan menggunakan analisis turunan.
Turunan pertama dan kedua dari H(x) terhadap x adalah:
dan
Syarat perlu ekstrim diperoleh dari H’(x) = 0
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
A. Metode Penelitian
Jenis penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah penelitian kualitatif deskriptif. Penelitian kualitatif adalah penelitian yang memandang realitas sosial sebagai suatu yang holistik/utuh, kompleks, dinamis, dan penuh makna, yang digunakan untuk meneliti pada kondisi objek yang alamiah, di mana peneliti sebagai instrumen kunci, analisis data bersifat induktif/kualitatif, dan hasil penelitian lebih menekankan makna daripada generalisasi (dalam Sugiyono, 2010: 9).
Penelitian ini menggunakan penelitian kualitatif deskriptif dimaksudkan untuk melukiskan keadaan subjek dan objek penelitian pada saat sekarang berdasarkan fakta-fakta yang tampak atau bagaimana adanya, dan berusaha mengungkap fenomena-fenomena yang ada dalam keadaan tersebut. Jenis penelitian ini sejalan dengan tujuan penelitian yaitu untuk menelusuri kesulitan yang dialami siswa dalam merancang model matematika yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penyelesaiannya pada siswa kelas XI SMA.
B. Subjek Penelitian
Subjek dari penelitian ini adalah siswa SMA kelas XI pada tahun ajaran 2010/2011.
C. Teknik Pengumpulan Data
Peneliti mengumpulkan data dari sampel yang diteliti dengan cara observasi di kelas selama kegiatan belajar mengajar berlangsung, hasil tes dari sampel saat mengerjakan soal, transkip wawancara dengan sampel, dan catatan peneliti selama berada di lapangan.
Data yang dikumpulkan dalam penelitian ini adalah:
1. Data tentang kesulitan apa saja yang dialami siswa kelas XI SMA dalam merancang model matematika yang berkaitan dengan ekstrim fungsi yang dilihat dari hasil tes. Peneliti melihat kesalahan-kesalahan yang dilakukan siswa saat mengerjakan soal-soal pada pokok bahasan tersebut.
2. Data penelusuran cara berpikir siswa saat merancang model matematika yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan menyelesaikannya yang diperoleh dari hasil wawancara.
D. Instrumen Penelitian
Instrumen penelitian yang digunakan untuk mengumpulkan data pada penelitian ini yaitu observasi kelas, tes, dan wawancara.
1. Observasi kelas
Observasi di kelas dilakukan beberapa kali di kelas XI selama kegiatan belajar mengajar berlangsung sebelum penelitian dilakukan untuk mendapatkan gambaran tentang situasi kelas dan kesulitan yang dihadapi siswa secara umum.
Dalam observasi siswa di kelas, peneliti menggunakan tabel keterlibatan siswa yang diisi oleh peneliti pada saat kegiatan belajar mengajar berlangsung. Tabel pengamatan ini berisi daftar check list berupa kolom-kolom tentang jenis keterlibatan siswa dalam bertanya, menemukan alternatif penyelesaian, memberikan tanggapan, menyatakan definisi, menemukan konsep materi dan menarik kesimpulan. Selain itu terdapat kolom keterangan untuk mencatat hal-hal yang berkaitan dengan keterlibatan siswa (dalam Budhiani, 2008: 37).
Tabel Pengamatan keterlibatan siswa
| No Siswa | Jenis Keterlibatan | Keterangan |
| A | B | C | D | E | F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Keterangan:
A : Bertanya
B : Menemukan alternatif penyelesaian
C : Menemukan kesulitan penyelesaian
D : Menyatakan definisi atau konsep
E : Menarik kesimpulan
Peneliti menggunakan rekaman video untuk melengkapi hasil pengamatan. Hal-hal yang akan direkam dalam penelitian ini adalah:
a) Situasi kelas saat guru mengajar
b) Situasi kelas saat guru memberikan soal latihan
c) Situasi kelas saat ada diskusi kelompok dalam kelas
d) Situasi kelas saat diskusi kelas
2. Tes
Tes adalah suatu alat pengumpul informasi yang bersifat resmi dan penuh dengan batasan-batasan. Tes pada umumnya digunakan untuk menilai dan mengukur hasil belajar siswa, terutama hasil belajar kognitif yang berkaitan dengan bahan pengajaran. Siswa akan diberikan tes awal merancang model matematika yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penyelesaiannya yang akan digunakan untuk melihat dan mengelompokkan apa saja kesulitan yang dihadapi oleh siswa.
3. Wawancara
Wawancara yang akan dilakukan adalah wawancara tidak terstruktur. Wawancara tidak terstruktur adalah wawancara yang bebas di mana peneliti tidak menggunakan pedoman wawancara yang telah tersusun secara sistematis dan lengkap untuk pengumpulan datanya (dalam Sugiyono, 2010: 233). Pedoman wawancara yang digunakan hanya berupa garis-garis besar permasalahan yang akan ditanyakan. Pertanyaan wawancara yang akan diberikan berdasarkan pada hasil jawaban siswa saat mengerjakan tes.
Dalam wawancara tidak terstruktur, peneliti belum mengetahui secara pasti data apa yang akan diperoleh sehingga peneliti lebih banyak mendengarkan apa yang diceritakan oleh responden. Beberapa jawaban siswa yang dipilih akan dianalisis lebih lanjut untuk melihat cara berpikir siswa dalam mengerjakan soal tes tersebut. Berdasarkan analisis terhadap setiap jawaban dari responden tersebut, maka peneliti dapat mengajukan berbagai pertanyaan berikutnya yang lebih terarah pada suatu tujuan (dalam Sugiyono, 2010: 234). Dalam wawancara yang diamati meliputi kesulitan saat mengerjakan tes, bagaimana proses berpikir siswa dalam menanggapi pertanyaan-pertanyaan yang diajukan peneliti dan bagaimana siswa mengungkapkan ide atau jalan pikirannya selama mengerjakan soal tes. Proses wawancara dan aktivitas siswa akan direkam dalam bentuk video.
E. Teknik Analisis Data
Dalam hal analisis data kualitatif, Bogdan (dalam Sugiyono, 2010: 244) menyatakan bahwa:
Analisis data adalah proses mencari dan menyusun secara sistematis data yang diperoleh dari hasil wawancara, catatan lapangan, dan bahan-bahan lain, sehingga dapat mudah dipahami dna temuannya dapat diinformasikan kepada orang lain. Analisis data dilakukan dengan mengorganisasikan data, menjabarkannya ke dalam unit-unit, melakukan sintesa, menyusun ke dalam pola, memilih mana yang penting dan yang akan dipelajari, dan membuat kesimpulan yang dapat diceritakan kepada orang lain.
Analisis kualitatif dimaksudkan untuk menganalisis soal ditinjau dari segi teknis, isi, dan editorial. Analisis secara teknis dimaksudkan sebagai penelaahan soal berdasarkan prinsip-prinsip pengukuran dan format penulisan soal. Analisis secara isi dimaksudkan sebagai penelaahan khusus yang berkaitan dengan kelayakan pengetahuan yang ditanyakan. Analisis secara editorial dimaksudkan sebagai penelaahan yang khususnya berkaitan dengan keseluruhan format dan keajegan editorial dari satu soal ke soal yang lainnya (dalam Surapranata, 2009: 2)
Melalui analisis kualitatif dapat diketahui berfungsi tidaknya sebuah soal.
1. Analisis Validitas Tes
Validitas adalah suatu konsep yang berkaitan dengan sejauhmana tes telah mengukur apa yang seharusnya diukur. Validitas sebuah tes dibedakan menjadi dua macam yaitu validitas logis dan validitas empiris. Validitas logis sama dengan analisis kualitatif terhadap sebuah soal, yaitu untuk menentukan berfungsi tidaknya suatu soal berdasarkan kriteria yang telah ditentukan, yang dalam hal ini adalah kriteria materi, konstruksi, dan bahasa (dalam Surapranata, 2009: 50). Kriteria materi berkaitan dengan substansi keilmuan yang ditanyakan dalam soal serta tingkat kemampuan yang sesuai dengan soal. Kriteria konstruksi berkaitan dengan teknik penulisan soal. Kriteria bahasa berkaitan dengan penggunaan bahasa Indonesia yang baik dan benar menurut EYD.
Salah satu cara untuk menentukan validitas alat ukur (dalam hal ini berupa tes) adalah dengan menggunakan korelasi product moment yang dikemukakan oleh Person sebagai berikut (dalam Surapranata, 2009:56)
= koefisien relasi antara variabel x dan variabel y ∑XY = jumlah perkalian antara x dan y
X2 = kuadrat dari x
Y2 = kuadrat dari y
2. Analisis Reliabilitas Tes
Reliabilitas atau keajegan suatu skor adalah hal yang sangat penting dalam menentukan apakah tes telah menyajikan pengukuran yang baik.
Menurut Nunnaly (Surapranata, 2009: 90) menyebutkan bahwa sumber kesalahan pengukuran itu antara lain (1) variansi dalam tes itu sendiri, (2) struktur sampel yang dipilih, (3) variansi di antara tes yang sedang digunakan.
Prosedur untuk memperoleh reliabilitas dari tes yang hanya sekali diberikan, dapat digunakan persamaan Kuder-Richardson (KR-20)
r11 = reliabilitas menggunakan persamaan KR-20
p = proporsi peserta tes yang menjawab benar
q = proporsi peserta tes yang menjawab salah
∑pq = jumlah perkalian antara p dan q
K = banyaknya soal
S = standar deviasi atau simpangan baku merupakan akar varian yang dapat dicari dengan persamaan:
N = jumlah peserta tes
∑x2 = jumlah deviasi dari rerata kuadrat
3. Analisis Hasil Tes Siswa
Tabel kriteria penilaian butir soal uji coba
| No | Jawaban Siswa | Skor |
| 1. 2.
3.
4.
5 | Siswa tidak menuliskan apapun dalam lembar jawab Siswa dapat menuliskan apa yang diketahui dan hal yang ditanyakan Siswa dapat membuat model penyelesaian dari masalah yang diberikan dengan benar Siswa dapat mengerjakan model pemecahan masalah dengan langkah yang benar tetapi belum tuntas Siswa dapat mengerjakan dengan tuntas dan benar | 0 1
5
8
10 |
(Budhiani, 2008: 48)
Pengelompokan kriteria kesulitan yang dialami akan diperoleh setelah siswa mengerjakan soal yang diberikan. Pengelompokan itu diperoleh dengan menggunakan teknik analisis di bawah ini:
Tabel : Teknik analisis data tes (dalam Diniarie, 2010)
| No | Proses |
| 1. | Jawaban seluruh siswa diteliti |
| 2. | Memilih jawaban siswa yang akan dianalisis lebih lanjut. Jawaban siswa yang dipilih dianalisis lebih lanjut didasarkan pada jawaban siswa yang representatif menunjukkan kesalahan yang dibuat siswa, jawaban siswa yang menunjukkan kesalahan yang dominan dibuat siswa, kasus-kasus kecil pada jawaban siswa yang menarik, atau pada kemungkinan beragam jenis jawaban siswa. |
| 3. | Mencatat jawaban-jawaban siswa yang salah |
| 4. | Mengelompokkan jawaban siswa berdasarkan jenis kesulitan yang dihadapi berdasarkan rumusan kategori jenis kesulitan. |
4. Analisis Hasil Wawancara Siswa
Pada saat wwancara, peneliti sudah melakukan analisis terhadap jawaban yang diwawancarai. Bila jawaban yang diwawancarai setelah dianalisis terasa belum memuaskan, maka peneliti akan melanjutkan pertanyaan lagi, sampai pada tahap tertentu diperoleh data yang dianggap kredibel.
Periksalah jenis ekstrim dengan menggunakan uji turunan kedua.
· , maka pada x = 0 terjadi nilai balik minimum
· , maka pada x = 100 terjadi nilai balik maksimum
